• 基本形式：
{a1x+b1y+c1z=Ma2x+b2y+c2z=N\left\{ \begin{array}{l} a_1x + b_1y + c_1z = M \\ a_2x + b_2y + c_2z = N \end{array} \right.{a1x+b1y+c1z=Ma2x+b2y+c2z=N

• 分类依据：根据未知数是否必须为整数分为两类解法

周期相遇

1）大月规律01:53:20

• 核心结论："大月前三就是后三天"，即31天的月份会包含完整的4周加3个额外天数

• 应用场景：若首日为周x，则该月必有5个周x、周(x+1)、周(x+2)

2）小月规律01:53:51

• 核心结论："小月前两天就是后两天"，即30天的月份会包含完整的4周加2个额外天数

• 推算公式：30÷7=4周余2天（记忆为"12元30÷7=4周2天"）

平年闰年：

• 平年：365=52×7+1→ 次年同日星期数+1

• 闰年：366=52×7+2→ 次年同日星期数+2

经济利润：

容斥：

行程问题：

概率

 

几何：

溶液；

 

 

 

一、比较构造

 

二、整除思维

1. 整除的应用环境：
1. 数据：百分数、小数、比例数
2. 文字：“倍”、“每个人分xx个”、平均、整除

2. 甲比乙多14%(可以把乙看成1，甲为114%；最简分数为114/100 = 57/50)，则乙为

三、份数思维

1. 先派 再派 可以设未知数为5 和 4的公倍数，20X 来列方程

2. 质数：指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数

最终，100以内的质数共有25个，具体如下：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

3. 为了找出100以内的质数，我首先列出从2到100的所有自然数（因为1不是质数）：

4. 已知不定方程组：5x+10y+z=..,求不定方程（关系式），例如：x+y+z=?
可以将系数最大的设为0

四、通项公式

1. 通项公式：任意两项之差：下角标之差个公差

2. 求和公式：

3. 中项公式：
1. n为奇数 * n
2. n为偶数：

五、工程问题

1. 时间与效率不变：工程量与时间/效率成正比

2. 工程量不变：效率与时间成反比

3. 通过条件推出效率最简比，设效率为比例数。例如：P甲：P乙=3:4，就设甲乙为3:4

4. 工程问题研究工作量之间关系（读懂工作方式）

5. 合作的本质也是各干各的

6. 甲单独做需要8天，甲乙合作四天完成总量3/4，可以列等式：

7. 3A=5B A:B就是系数最简反比 5:3

六、行程问题

2. S不变，V与T成反比

2. V 或 T 不变，S与 V 或 T成正比

火车过隧道：

1. 需要以车头或车尾作为参照点

1. 从开始进入到完全驶出：走的是车长+隧道长的距离

2. 车完全在隧道走的长度：隧道长-车长

环形相遇/追击

1. S遇=（V甲+V乙）* t

2. S追=（V甲-V乙）* t

3. 甲第二次追上乙，就是多跑一圈的距离

倍数（花生老师）

余数：

容斥：

溶液：

• 纯浓度问题：指盐水、酒精溶液、盐酸溶液等实际溶液浓度问题

• 类浓度问题：指具有浓度问题特征但非实际溶液的比值问题，包括：
• 平均分
• 平均年龄
• 长方形与正方形的比值
• 增长率
• 占比问题（如男生女生占比）

• 解法区别：
• 纯浓度问题：优先考虑溶质不变原则
• 类浓度问题：更适用十字交叉法

2. 类浓度问题的解法：十字交叉法01:29:44

• 适用条件：
• 整体由两部分组成
• 给出的量可以表示为的形式
a=bca=\frac{b}{c}a=cb

• 解题步骤：
• 将a代入十字交叉法
• 求得的分母之比即为c的比值

• 判断依据：观察分母是否满足两部分分母相加等于总分母

• 应用场景：
• 求人数（因人数常在分母位置）
• 平均分、人均消费、人均收入等问题